ჩვენი სამყაროს ბრტყელი, სფერული თუ ჰიპერბოლური ფორმა?

2024 ავტორი: Seth Attwood | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2023-12-16 16:09

ჩვენი აზრით, სამყარო უსასრულოა. დღეს ჩვენ ვიცით, რომ დედამიწას აქვს სფეროს ფორმა, მაგრამ იშვიათად ვფიქრობთ სამყაროს ფორმაზე. გეომეტრიაში ბევრი სამგანზომილებიანი ფორმაა, როგორც „ნაცნობი“უსასრულო სივრცის ალტერნატივა. ავტორები განმარტავენ განსხვავებას ყველაზე ხელმისაწვდომი ფორმით.

ღამის ცას რომ ვუყურებ, როგორც ჩანს, სივრცე სამუდამოდ მიდის ყველა მიმართულებით. ასე წარმოგვიდგენია სამყარო - მაგრამ არა ის ფაქტი, რომ ეს სიმართლეა. ბოლოს და ბოლოს, იყო დრო, როცა ყველას ეგონა, რომ დედამიწა ბრტყელია: დედამიწის ზედაპირის გამრუდება შეუმჩნეველია და აზრი, რომ დედამიწა მრგვალია, გაუგებარი ჩანდა.

დღეს ჩვენ ვიცით, რომ დედამიწა სფეროს ფორმისაა. მაგრამ ჩვენ იშვიათად ვფიქრობთ სამყაროს ფორმაზე. როდესაც სფერომ შეცვალა ბრტყელი დედამიწა, სხვა სამგანზომილებიანი ფორმები გვთავაზობენ ალტერნატივებს "ნაცნობი" უსასრულო სივრცისთვის.

სამყაროს ფორმის შესახებ შეიძლება დაისვას ორი კითხვა – ცალკე, მაგრამ ურთიერთდაკავშირებული. ერთი ეხება გეომეტრიას - კუთხეების და ფართობების ზედმიწევნით გამოთვლებს. მეორე ეხება ტოპოლოგიას: როგორ ერწყმის ცალკეული ნაწილები ერთ ფორმაში.

კოსმოლოგიური მონაცემები ვარაუდობენ, რომ სამყაროს ხილული ნაწილი გლუვი და ერთგვაროვანია. სივრცის ადგილობრივი სტრუქტურა თითქმის ერთნაირად გამოიყურება ყველა წერტილში და ყველა მიმართულებით. მხოლოდ სამი გეომეტრიული ფორმა შეესაბამება ამ მახასიათებლებს - ბრტყელი, სფერული და ჰიპერბოლური. მოდით, თავის მხრივ გადავხედოთ ამ ფორმებს, რამდენიმე ტოპოლოგიურ მოსაზრებას და დასკვნას, რომელიც დაფუძნებულია კოსმოლოგიურ მონაცემებზე.

ბრტყელი სამყარო

სინამდვილეში, ეს არის სკოლის გეომეტრია. სამკუთხედის კუთხეები ემატება 180 გრადუსს, ხოლო წრის ფართობი არის πr2. ბრტყელი სამგანზომილებიანი ფორმის უმარტივესი მაგალითია ჩვეულებრივი უსასრულო სივრცე, მათემატიკოსები მას ევკლიდეს უწოდებენ, მაგრამ არსებობს სხვა ბრტყელი ვარიანტებიც.

ამ ფორმების წარმოდგენა ადვილი არ არის, მაგრამ ჩვენ შეგვიძლია დავაკავშიროთ ჩვენი ინტუიცია სამ განზომილებაში ფიქრით. ჩვეულებრივი ევკლიდური სიბრტყის გარდა, ჩვენ შეგვიძლია შევქმნათ სხვა ბრტყელი ფორმები სიბრტყის ნაწილის ამოჭრით და მისი კიდეების წებოთი. ვთქვათ, ამოვჭრათ მართკუთხა ფურცელი და მის მოპირდაპირე კიდეებს ლენტით მივაკრათ. თუ ზედა კიდეს ქვედა კიდეზე წებოთი, თქვენ მიიღებთ ცილინდრის.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ წებოთი მარჯვენა კიდე მარცხნივ - შემდეგ მივიღებთ დონატს (მათემატიკოსები ამ ფორმას ტორუსს უწოდებენ).

თქვენ ალბათ გააპროტესტებთ: "რაღაც არ არის ძალიან ბრტყელი". და მართალი იქნებით. ცოტას ვატყუებდით ბრტყელ ტორსზე. თუ თქვენ ნამდვილად ცდილობთ ამ გზით ქაღალდისგან ტორუსის გაკეთებას, გარკვეულ სირთულეებს წააწყდებით. ცილინდრის დამზადება მარტივია, მაგრამ მისი ბოლოების წებოვნება არ გამოდგება: ქაღალდი ტორუსის შიდა წრის გასწვრივ დაიმსხვრევა, მაგრამ გარე წრისთვის ეს საკმარისი არ იქნება. ასე რომ თქვენ უნდა აიღოთ რაიმე სახის ელასტიური მასალა. მაგრამ გაჭიმვა ცვლის სიგრძეს და კუთხეებს და, შესაბამისად, მთელ გეომეტრიას.

შეუძლებელია ნამდვილი გლუვი ფიზიკური ტორუსის აგება ბრტყელი მასალისგან ჩვეულებრივი სამგანზომილებიანი სივრცის შიგნით გეომეტრიის დამახინჯების გარეშე. რჩება აბსტრაქტული ვარაუდი იმის შესახებ, თუ როგორია ცხოვრება ბრტყელ ტორში.

წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ ხართ ორგანზომილებიანი არსება, რომლის სამყარო ბრტყელი ტორუსია. ვინაიდან ამ სამყაროს ფორმა დაფუძნებულია ბრტყელ ფურცელზე, ყველა გეომეტრიული ფაქტი, რომელსაც ჩვენ შევეჩვიეთ, იგივე რჩება - სულ მცირე შეზღუდული მასშტაბით: სამკუთხედის კუთხეები ემატება 180 გრადუსს და ა.შ. მაგრამ გლობალური ტოპოლოგიის ცვლილებასთან ერთად მორთვა და წებოვნება, ცხოვრება მკვეთრად შეიცვლება.

დასაწყისისთვის, ტორს აქვს სწორი ხაზები, რომლებიც მარყუჟებს და უბრუნდებიან საწყის წერტილს.

დამახინჯებულ ტორსზე ისინი მოხრილად გამოიყურებიან, ბრტყელი ტორუსის მაცხოვრებლებისთვის კი ისინი სწორებად ჩანან. და რადგან შუქი მოძრაობს სწორი ხაზით, მაშინ თუ პირდაპირ რომელიმე მიმართულებით გამოიყურებით, საკუთარ თავს უკნიდან დაინახავთ.

თითქოს თავდაპირველ ფურცელზე სინათლემ გაიარა შენში, მარცხენა კიდეზე წავიდა და შემდეგ ისევ მარჯვნივ გამოჩნდა, როგორც ვიდეო თამაშში.

აი, ამაზე ფიქრის კიდევ ერთი გზა: თქვენ (ან სინათლის სხივი) გადაკვეთეთ ოთხი კიდედან ერთ-ერთს და აღმოჩნდებით ახალ ოთახში, მაგრამ სინამდვილეში ეს იგივე ოთახია, მხოლოდ განსხვავებული თვალსაზრისით. ასეთ სამყაროში ხეტიალისას თქვენ წააწყდებით ორიგინალური ოთახის უამრავ ასლს.

ეს ნიშნავს, რომ თქვენ აიღებთ უსასრულო რაოდენობის ასლებს, სადაც არ უნდა გაიხედოთ. ეს არის ერთგვარი სარკის ეფექტი, მხოლოდ ეს ასლები არ არის ზუსტად ანარეკლი.

ტორუსზე, თითოეული მათგანი შეესაბამება ამა თუ იმ მარყუჟს, რომლის გასწვრივ შუქი ბრუნდება თქვენთან.

ანალოგიურად, ვიღებთ ბრტყელ სამგანზომილებიან ტორს კუბის ან სხვა ყუთის საპირისპირო სახეების დაწებებით. ჩვენ ვერ შევძლებთ ამ სივრცის გამოსახვას ჩვეულებრივი უსასრულო სივრცის შიგნით - ის უბრალოდ არ მოერგება - მაგრამ ჩვენ შევძლებთ აბსტრაქტულად ვიმსჯელოთ მის შიგნით ცხოვრებაზე.

თუ ორგანზომილებიან ტორში ცხოვრება ჰგავს იდენტური მართკუთხა ოთახების გაუთავებელ ორგანზომილებიან მასივს, მაშინ ცხოვრება სამგანზომილებიან ტორში ჰგავს იდენტური კუბური ოთახების გაუთავებელ სამგანზომილებიან მასივს. თქვენც ნახავთ უსასრულო რაოდენობის ასლებს.

სამგანზომილებიანი ტორუსი არის სასრული ბრტყელი სამყაროს ათი ვარიანტიდან მხოლოდ ერთი. ასევე არსებობს უსასრულო ბრტყელი სამყაროები - მაგალითად, უსასრულო ცილინდრის სამგანზომილებიანი ანალოგი. თითოეულ ამ სამყაროს ექნება თავისი „სიცილის ოთახი“„ანარეკლებით“.

შეიძლება ჩვენი სამყარო იყოს ერთ-ერთი ბრტყელი ფორმა?

როდესაც კოსმოსს ვუყურებთ, ჩვენ ვერ ვხედავთ უსასრულო რაოდენობის ჩვენს ასლებს. მიუხედავად ამისა, ბრტყელი ფორმების აღმოფხვრა ადვილი არ არის. პირველ რიგში, მათ აქვთ იგივე ლოკალური გეომეტრია, როგორც ევკლიდეს სივრცე, ამიტომ მათი გარჩევა ადგილობრივი გაზომვებით შეუძლებელი იქნება.

ვთქვათ, თქვენც კი გინახავთ საკუთარი ასლი, ეს შორეული სურათი მხოლოდ გვიჩვენებს, თუ როგორ გამოიყურებოდით თქვენ (ან მთლიანად თქვენი გალაქტიკა) შორეულ წარსულში, რადგან სინათლემ დიდი გზა გაიარა თქვენამდე. შესაძლოა, ჩვენ ვნახოთ საკუთარი ასლებიც კი - მაგრამ შეცვლილი აღიარების მიღმა. უფრო მეტიც, სხვადასხვა ასლები თქვენგან განსხვავებულ მანძილზეა, ამიტომ ისინი არ არიან ერთნაირი. თანაც ისე შორს, რომ მაინც ვერაფერს დავინახავთ.

ამ სირთულეების გადასაჭრელად, ასტრონომები ჩვეულებრივ ეძებენ არა საკუთარი თავის ასლებს, არამედ ყველაზე შორეულ ხილულ ფენომენში - კოსმოსური მიკროტალღური ფონის გამოსხივებას - ეს არის დიდი აფეთქების რელიქვია. პრაქტიკაში, ეს ნიშნავს წყვილების ძიებას ცხელი და ცივი ლაქების შესაბამისი ნიმუშებით - ვარაუდობენ, რომ ისინი ერთნაირია, მხოლოდ სხვადასხვა მხრიდან.

ასტრონომებმა სწორედ ასეთი ძიება ჩაატარეს 2015 წელს პლანკის კოსმოსური ტელესკოპის წყალობით. მათ შეკრიბეს მონაცემები დამთხვევის წრეების ტიპების შესახებ, რომლებსაც ველოდებით ბრტყელი 3D ტორუსის ან სხვა ბრტყელი 3D ფორმის შიგნით - ეგრეთ წოდებული ფირფიტა - მაგრამ ვერაფერი იპოვეს. ეს ნიშნავს, რომ თუ ჩვენ ვცხოვრობთ ტორში, მაშინ ის იმდენად დიდია, რომ ნებისმიერი განმეორებადი ფრაგმენტი დაკვირვებადი სამყაროს გარეთ დევს.

სფერული ფორმა

ჩვენ კარგად ვიცნობთ ორგანზომილებიან სფეროებს - ეს არის ბურთის, ფორთოხლის ან დედამიწის ზედაპირი. მაგრამ რა მოხდება, თუ ჩვენი სამყარო სამგანზომილებიანი სფეროა?

სამგანზომილებიანი სფეროს დახატვა რთულია, მაგრამ მარტივი ანალოგიით მისი აღწერა მარტივია. თუ ორგანზომილებიანი სფერო არის ყველა წერტილის ერთობლიობა ფიქსირებულ მანძილზე რომელიმე ცენტრალური წერტილიდან ჩვეულებრივ სამგანზომილებიან სივრცეში, სამგანზომილებიანი სფერო (ან „ტრისფერო“) არის ყველა წერტილის კრებული ზოგიერთისგან ფიქსირებულ მანძილზე. ცენტრალური წერტილი ოთხგანზომილებიან სივრცეში.

ტრისფეროს შიგნით ცხოვრება ძალიან განსხვავდება სიბრტყეში ცხოვრებისგან. მის ვიზუალიზაციისთვის წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ ხართ ორგანზომილებიანი არსება ორგანზომილებიან სფეროში. ორგანზომილებიანი სფერო არის მთელი სამყარო, ამიტომ თქვენ ვერ ხედავთ თქვენს გარშემო არსებულ სამგანზომილებიან სივრცეს და ვერ შეხვალთ მასში. ამ სფერულ სამყაროში სინათლე მოძრაობს უმოკლეს გზაზე: დიდ წრეებში. მაგრამ ეს წრეები პირდაპირ გეჩვენებათ.

ახლა წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ და თქვენი 2D მეგობარი იმყოფებით ჩრდილოეთ პოლუსზე და ის სასეირნოდ წავიდა. მოშორებით, თავიდან ის თანდათან შემცირდება თქვენს ვიზუალურ წრეში - როგორც ჩვეულებრივ სამყაროში, თუმცა არა ისე სწრაფად, როგორც ჩვენ მიჩვეულები ვართ. ეს იმიტომ ხდება, რომ რაც უფრო იზრდება თქვენი ვიზუალური წრე, თქვენი მეგობარი სულ უფრო ნაკლებს იკავებს მას.

მაგრამ როგორც კი შენი მეგობარი გადაკვეთს ეკვატორს, რაღაც უცნაური ხდება: ის იწყებს ზომაში მატებას, თუმცა სინამდვილეში ის აგრძელებს დაშორებას. ეს იმიტომ ხდება, რომ პროცენტი, რომელსაც ისინი იკავებენ თქვენს ვიზუალურ წრეში, იზრდება.

სამხრეთ პოლუსიდან სამ მეტრში შენი მეგობარი ისე გამოიყურება, თითქოს შენგან სამი მეტრში დგას.

სამხრეთ პოლუსამდე მიღწევის შემდეგ ის მთლიანად შეავსებს თქვენს მთელ ხილულ ჰორიზონტს.

და როცა სამხრეთ პოლუსზე არავინ იქნება, შენი ვიზუალური ჰორიზონტი კიდევ უფრო უცნაური იქნება - ეს შენ ხარ. ეს იმიტომ ხდება, რომ შუქი, რომელსაც თქვენ ასხივებთ, გავრცელდება მთელ სფეროზე, სანამ არ დაბრუნდება.

ეს პირდაპირ გავლენას ახდენს ცხოვრებაზე 3D სფეროში. ტრისფეროს თითოეულ წერტილს აქვს საპირისპირო და თუ იქ არის ობიექტი, ჩვენ მას მთელ ცაზე დავინახავთ. თუ იქ არაფერია, ჩვენ საკუთარ თავს დავინახავთ უკანა პლანზე - თითქოს ჩვენი გარეგნობა ბუშტზე იყო გადაფენილი, შემდეგ შიგნით შებრუნებული და მთელ ჰორიზონტზე გაბერილი.

მაგრამ მიუხედავად იმისა, რომ ტრისფერო არის სფერული გეომეტრიის საფუძვლიანი მოდელი, ის შორს არის ერთადერთი შესაძლო სივრცისგან. როგორც ჩვენ ვაშენებდით სხვადასხვა ბრტყელ მოდელებს ევკლიდური სივრცის ნაჭრების ჭრითა და წებოვნებით, ასევე შეგვიძლია ავაშენოთ სფერული მოდელები ტრისფეროს შესაფერისი ნაწილების წებოთი. თითოეულ ამ წებოვან ფორმას, ტორუსის მსგავსად, ექნება „სიცილის ოთახის“ეფექტი, მხოლოდ სფერული ფორმის ოთახების რაოდენობა იქნება სასრული.

რა მოხდება, თუ ჩვენი სამყარო სფერულია?

ჩვენგან ყველაზე ნარცისიაც კი არ ხედავს საკუთარ თავს ღამის ცის ფონად. მაგრამ, როგორც ბრტყელი ტორუსის შემთხვევაში, ის, რომ რაღაცას ვერ ვხედავთ, სულაც არ ნიშნავს, რომ ის არ არსებობს. სფერული სამყაროს საზღვრები შეიძლება იყოს უფრო დიდი ვიდრე ხილული სამყაროს საზღვრები, ხოლო ფონი უბრალოდ არ ჩანს.

მაგრამ ტორუსისგან განსხვავებით, სფერული სამყაროს აღმოჩენა შესაძლებელია ადგილობრივი გაზომვების გამოყენებით. სფერული ფორმები უსასრულო ევკლიდური სივრცისგან განსხვავდება არა მხოლოდ გლობალური ტოპოლოგიით, არამედ მცირე გეომეტრიითაც. მაგალითად, რადგან სფერულ გეომეტრიაში სწორი ხაზები დიდი წრეებია, იქ სამკუთხედები ევკლიდესთან შედარებით „მსუქანი“და მათი კუთხეების ჯამი 180 გრადუსს აღემატება.

ძირითადად, კოსმოსური სამკუთხედების გაზომვა არის მთავარი გზა იმის შესამოწმებლად, თუ რამდენად მრუდია სამყარო. კოსმოსური მიკროტალღური ფონზე თითოეული ცხელი ან ცივი წერტილისთვის ცნობილია მისი დიამეტრი და დედამიწიდან დაშორება, რომელიც ქმნის სამკუთხედის სამ მხარეს. ჩვენ შეგვიძლია გავზომოთ კუთხე, რომელიც ჩამოყალიბებულია ლაქით ღამის ცაზე - და ეს იქნება სამკუთხედის ერთ-ერთი კუთხე. შემდეგ შეგვიძლია შევამოწმოთ, შეესაბამება თუ არა გვერდების სიგრძისა და კუთხეების ჯამის კომბინაცია პლანტურ, სფერულ ან ჰიპერბოლურ გეომეტრიას (სადაც სამკუთხედის კუთხეების ჯამი 180 გრადუსზე ნაკლებია).

ამ გამოთვლების უმეტესობა, მრუდის სხვა გაზომვებთან ერთად, ვარაუდობს, რომ სამყარო ან მთლიანად ბრტყელია ან ძალიან ახლოსაა მასთან. ერთ-ერთმა მკვლევარმა ჯგუფმა ახლახანს გამოთქვა ვარაუდი, რომ პლანკის კოსმოსური ტელესკოპის 2018 წლის ზოგიერთი მონაცემი უფრო სფერული სამყაროს სასარგებლოდ საუბრობს, თუმცა სხვა მკვლევარები ამტკიცებდნენ, რომ წარმოდგენილი მტკიცებულებები შეიძლება მიეწეროს სტატისტიკურ შეცდომას.

ჰიპერბოლური გეომეტრია

სფეროსგან განსხვავებით, რომელიც თავისთავად იხურება, ჰიპერბოლური გეომეტრია ან სივრცე უარყოფითი გამრუდებით იხსნება გარედან. ეს არის ფართოფარფლებიანი ქუდის, მარჯნის რიფისა და უნაგირის გეომეტრია. ჰიპერბოლური გეომეტრიის ძირითადი მოდელი არის უსასრულო სივრცე, ისევე როგორც ბრტყელი ევკლიდური. მაგრამ იმის გამო, რომ ჰიპერბოლური ფორმა უფრო სწრაფად ფართოვდება გარედან, ვიდრე ბრტყელი, შეუძლებელია ორგანზომილებიანი ჰიპერბოლური სიბრტყის მოთავსებაც კი ჩვეულებრივ ევკლიდეს სივრცეში, თუ არ გვინდა მისი გეომეტრიის დამახინჯება. მაგრამ არსებობს ჰიპერბოლური სიბრტყის დამახინჯებული გამოსახულება, რომელიც ცნობილია როგორც პუანკარეს დისკი.

ჩვენი გადმოსახედიდან, სამკუთხედები სასაზღვრო წრის მახლობლად, როგორც ჩანს, გაცილებით მცირეა, ვიდრე ცენტრთან ახლოს, მაგრამ ჰიპერბოლური გეომეტრიის თვალსაზრისით, ყველა სამკუთხედი ერთნაირია. თუ ჩვენ ვცდილობდით ამ სამკუთხედების რეალურად იგივე ზომის გამოსახვას - შესაძლოა ელასტიური მასალის გამოყენებით და ყოველი სამკუთხედის რიგრიგობით გავბეროთ, ცენტრიდან გარედან გადაადგილება - ჩვენი დისკი ფართოფარფლიან ქუდს დაემსგავსება და უფრო და უფრო მოხრილდება. და რაც უფრო უახლოვდებით საზღვარს, ეს გამრუდება კონტროლიდან გამოვიდოდა.

ჩვეულებრივ ევკლიდეს გეომეტრიაში წრის გარშემოწერილობა პირდაპირპროპორციულია მისი რადიუსის, მაგრამ ჰიპერბოლურ გეომეტრიაში წრე ექსპონენტურად იზრდება რადიუსთან შედარებით. სამკუთხედების გროვა იქმნება ჰიპერბოლური დისკის საზღვართან

ამ მახასიათებლის გამო მათემატიკოსებს მოსწონთ იმის თქმა, რომ ჰიპერბოლურ სივრცეში დაკარგვა ადვილია. თუ თქვენი მეგობარი მოშორდება თქვენგან ნორმალურ ევკლიდეს სივრცეში, ის დაიწყებს დაშორებას, მაგრამ უფრო ნელა, რადგან თქვენი ვიზუალური წრე ასე სწრაფად არ იზრდება. ჰიპერბოლურ სივრცეში თქვენი ვიზუალური წრე ექსპონენტურად ფართოვდება, ასე რომ თქვენი მეგობარი მალე შემცირდება უსასრულოდ მცირე ნაწილამდე. ასე რომ, თუ თქვენ არ გაჰყევით მის მარშრუტს, ნაკლებად სავარაუდოა, რომ მას მოგვიანებით იპოვით.

ჰიპერბოლურ გეომეტრიაშიც კი, სამკუთხედის კუთხეების ჯამი 180 გრადუსზე ნაკლებია - მაგალითად, პუანკარეს დისკის მოზაიკის ზოგიერთი სამკუთხედის კუთხეების ჯამი მხოლოდ 165 გრადუსია.

როგორც ჩანს, მათი მხარეები არაპირდაპირია, მაგრამ ეს იმიტომ ხდება, რომ ჩვენ ჰიპერბოლურ გეომეტრიას დამახინჯებული ლინზებით ვუყურებთ. პუანკარეს დისკის მკვიდრისთვის, ეს მოსახვევები რეალურად სწორი ხაზებია, ამიტომ A წერტილიდან B წერტილამდე (ორივე კიდეზე) მისასვლელად ყველაზე სწრაფი გზა არის ცენტრამდე გაჭრა.

არსებობს პუანკარეს დისკის სამგანზომილებიანი ანალოგის გაკეთების ბუნებრივი გზა - აიღეთ სამგანზომილებიანი ბურთი და შეავსეთ იგი სამგანზომილებიანი ფორმებით, რომლებიც თანდათან მცირდება, როდესაც ისინი უახლოვდებიან სასაზღვრო სფეროს, როგორც სამკუთხედები პუანკარეს დისკზე. და, როგორც სიბრტყეებსა და სფეროებში, ჩვენ შეგვიძლია შევქმნათ სხვა სამგანზომილებიანი ჰიპერბოლური სივრცის მთელი რიგი სამგანზომილებიანი ჰიპერბოლური ბურთის შესაფერისი ნაწილების ამოჭრით და მისი სახეების წებოვნებით.

ისე, ჩვენი სამყარო ჰიპერბოლურია?

ჰიპერბოლური გეომეტრია, თავისი ვიწრო სამკუთხედებით და ექსპონენტურად მზარდი წრეებით, სულაც არ ჰგავს ჩვენს გარშემო არსებულ სივრცეს. მართლაც, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, კოსმოლოგიური გაზომვების უმეტესი ნაწილი ბრტყელი სამყაროსკენ იხრება.

მაგრამ ჩვენ არ გამოვრიცხავთ, რომ ვცხოვრობთ სფერულ ან ჰიპერბოლურ სამყაროში, რადგან ორივე სამყაროს მცირე ფრაგმენტები თითქმის ბრტყლად გამოიყურება. მაგალითად, სფერულ გეომეტრიაში მცირე სამკუთხედების კუთხეების ჯამი მხოლოდ ოდნავ მეტია 180 გრადუსზე, ხოლო ჰიპერბოლურ გეომეტრიაში მხოლოდ ოდნავ ნაკლები.

ამიტომაც ძველებს მიაჩნდათ, რომ დედამიწა ბრტყელია - დედამიწის გამრუდება შეუიარაღებელი თვალით არ ჩანს. რაც უფრო დიდია სფერული ან ჰიპერბოლური ფორმა, მით უფრო ბრტყელია მისი თითოეული ნაწილი, ამიტომ, თუ ჩვენს სამყაროს აქვს უკიდურესად დიდი სფერული ან ჰიპერბოლური ფორმა, მისი ხილული ნაწილი იმდენად ახლოსაა ბრტყელთან, რომ მისი გამრუდება მხოლოდ ულტრა ზუსტი ინსტრუმენტებითაა შესაძლებელი. და ჩვენ ჯერ არ გამოგვიგონია ისინი…