რა არის ფრაქტალები: მათემატიკის სილამაზე და უსასრულობა

2024 ავტორი: Seth Attwood | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2023-12-16 16:09

ფრაქტალები ცნობილია ერთი საუკუნის განმავლობაში, კარგად არის შესწავლილი და აქვს მრავალი გამოყენება ცხოვრებაში. თუმცა, ეს ფენომენი დაფუძნებულია ძალიან მარტივ იდეაზე: უამრავი ფორმა, უსასრულო სილამაზითა და მრავალფეროვნებით, შეიძლება მიღებულ იქნას შედარებით მარტივი სტრუქტურებიდან მხოლოდ ორი ოპერაციით - კოპირება და მასშტაბირება.

რა საერთო აქვს ჩვენს ხელში ხეს, ზღვის სანაპიროს, ღრუბელსა თუ სისხლძარღვებს? ერთი შეხედვით შეიძლება ჩანდეს, რომ ყველა ამ ობიექტს საერთო არაფერი აქვს. თუმცა, ფაქტობრივად, ყველა ჩამოთვლილ ობიექტს თანდაყოლილი აქვს სტრუქტურის ერთი თვისება: ისინი საკუთარი თავის მსგავსია. ტოტიდან, ისევე როგორც ხის ტოტებიდან, უფრო პატარა ტოტებია, მათგან - კიდევ უფრო პატარა და ა.შ., ანუ ტოტი მთელ ხეს ჰგავს.

სისხლის მიმოქცევის სისტემაც ანალოგიურადაა მოწყობილი: არტერიოლები გამოდიან არტერიებიდან, მათგან კი - უმცირესი კაპილარები, რომლებითაც ჟანგბადი შედის ორგანოებსა და ქსოვილებში. გადავხედოთ ზღვის სანაპიროს სატელიტურ სურათებს: დავინახავთ ყურეებს და ნახევარკუნძულებს; მოდით შევხედოთ მას, ოღონდ ჩიტის თვალთახედვით: დავინახავთ ყურეებს და კონცხებს; ახლა წარმოვიდგინოთ, რომ ჩვენ ვდგავართ სანაპიროზე და ვუყურებთ ჩვენს ფეხებს: ყოველთვის არის კენჭები, რომლებიც დანარჩენზე უფრო შორს ამოდიან წყალში.

ანუ, გადიდებისას სანაპირო ზოლი თავის მსგავსი რჩება. ამერიკელმა (თუმცა საფრანგეთში გაზრდილმა) მათემატიკოსმა ბენუა მანდელბროტმა საგნების ამ თვისებას ფრაქტალობა უწოდა, ხოლო თავად ასეთ ობიექტებს - ფრაქტალები (ლათინური fractus - გატეხილი).

რა არის ფრაქტალი?

ამ კონცეფციას არ აქვს მკაცრი განმარტება. ამიტომ სიტყვა „ფრაქტალი“არ არის მათემატიკური ტერმინი. როგორც წესი, ფრაქტალი არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც აკმაყოფილებს ერთ ან მეტ შემდეგ თვისებებს: • მას აქვს რთული სტრუქტურა ნებისმიერი გადიდების დროს (განსხვავებით, მაგალითად, სწორი ხაზისგან, რომლის ნებისმიერი ნაწილი არის უმარტივესი გეომეტრიული ფიგურა - ხაზის სეგმენტი). • არის (დაახლოებით) საკუთარი თავის მსგავსი. • აქვს წილადური ჰაუსდორფის (ფრაქტალური) განზომილება, რომელიც ტოპოლოგიურზე მეტია. • შეიძლება აშენდეს რეკურსიული პროცედურებით.

გეომეტრია და ალგებრა

მე-19 და მე-20 საუკუნეების მიჯნაზე ფრაქტალების შესწავლა უფრო ეპიზოდური იყო, ვიდრე სისტემატური, რადგან ადრინდელი მათემატიკოსები ძირითადად სწავლობდნენ "კარგ" ობიექტებს, რომლებიც ექვემდებარებოდნენ კვლევას ზოგადი მეთოდებისა და თეორიების გამოყენებით. 1872 წელს გერმანელმა მათემატიკოსმა კარლ ვაიერშტრასმა შექმნა უწყვეტი ფუნქციის მაგალითი, რომელიც არსად დიფერენცირებადია. თუმცა მისი კონსტრუქცია სრულიად აბსტრაქტული და ძნელად აღქმადი იყო.

ამიტომ 1904 წელს შვედმა ჰელგე ფონ კოხმა გამოიგონა უწყვეტი მრუდი, რომელსაც არსად არ აქვს ტანგენსი და მისი დახატვა საკმაოდ მარტივია. აღმოჩნდა, რომ მას აქვს ფრაქტალის თვისებები. ამ მრუდის ერთ-ერთ ვარიანტს „კოხის ფიფქია“ჰქვია.

ფიგურების თვითმსგავსების იდეები აიტაცა ფრანგმა პოლ პიერ ლევიმ, ბენუა მანდელბროს მომავალმა მენტორმა. 1938 წელს მან გამოაქვეყნა სტატია „სიბრტყე და სივრცითი მრუდები და ზედაპირები, რომლებიც შედგება მთლიანის მსგავსი ნაწილებისგან“, სადაც აღწერილია კიდევ ერთი ფრაქტალი – ლევის C-მრუდი. ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი ფრაქტალი პირობითად შეიძლება მივაკუთვნოთ კონსტრუქციული (გეომეტრიული) ფრაქტალების ერთ კლასს.

კიდევ ერთი კლასი არის დინამიური (ალგებრული) ფრაქტალები, რომლებიც მოიცავს მანდელბროტის კომპლექტს. პირველი კვლევები ამ მიმართულებით მე-20 საუკუნის დასაწყისში დაიწყო და დაკავშირებულია ფრანგი მათემატიკოსების გასტონ ჯულიას და პიერ ფატუს სახელებთან.1918 წელს გამოქვეყნდა ჯულიას თითქმის ორას გვერდიანი მემუარები, რომელიც მიეძღვნა რთული რაციონალური ფუნქციების გამეორებას, რომელშიც აღწერილი იყო ჯულიას სიმრავლეები - ფრაქტალების მთელი ოჯახი, რომელიც მჭიდროდ იყო დაკავშირებული მანდელბროტის ნაკრებთან. ეს ნამუშევარი დაჯილდოვდა საფრანგეთის აკადემიის პრიზით, მაგრამ ის არ შეიცავდა არც ერთ ილუსტრაციას, ამიტომ შეუძლებელი იყო აღმოჩენილი ობიექტების სილამაზის დაფასება.

იმისდა მიუხედავად, რომ ეს ნამუშევარი ადიდებდა ჯულია იმდროინდელ მათემატიკოსებს შორის, ის სწრაფად დავიწყებას მიეცა. მხოლოდ ნახევარი საუკუნის შემდეგ კომპიუტერებმა კვლავ მიიპყრეს ყურადღება: სწორედ მათ გახადეს ფრაქტალების სამყაროს სიმდიდრე და სილამაზე.

ფრაქტალური ზომები

მოგეხსენებათ, გეომეტრიული ფიგურის განზომილება (გაზომვების რაოდენობა) არის კოორდინატების რაოდენობა, რომელიც საჭიროა ამ ფიგურაზე მდებარე წერტილის პოზიციის დასადგენად.

მაგალითად, წერტილის პოზიცია მრუდზე განისაზღვრება ერთი კოორდინატით, ზედაპირზე (აუცილებლად სიბრტყეზე) ორი კოორდინატით, სამგანზომილებიან სივრცეში სამი კოორდინატით.

უფრო ზოგადი მათემატიკური თვალსაზრისით, შეგიძლიათ განზომილების განსაზღვრა ამ გზით: წრფივი ზომების ზრდა, ვთქვათ, ორჯერ, ერთგანზომილებიანი (ტოპოლოგიური თვალსაზრისით) ობიექტებისთვის (სეგმენტი) იწვევს ზომის ზრდას. (სიგრძე) ორჯერ, ორგანზომილებიანი (კვადრატისთვის) წრფივი ზომების იგივე მატება იწვევს ზომის (ფართის) გაზრდას 4-ჯერ, სამგანზომილებიანი (კუბისთვის) - 8-ჯერ. ანუ „რეალური“(ე.წ. ჰაუსდორფი) განზომილება შეიძლება გამოითვალოს ობიექტის „ზომის“გაზრდის ლოგარითმის თანაფარდობა მისი წრფივი ზომის გაზრდის ლოგარითმთან. ანუ, სეგმენტისთვის D = ჟურნალი (2) / ჟურნალი (2) = 1, სიბრტყისთვის D = ჟურნალი (4) / ჟურნალი (2) = 2, მოცულობისთვის D = ჟურნალი (8) / ჟურნალი (2) = 3.

ახლა გამოვთვალოთ კოხის მრუდის განზომილება, რომლის ასაგებადაც ერთეული სეგმენტი იყოფა სამ თანაბარ ნაწილად და შუა ინტერვალი ჩანაცვლებულია ტოლგვერდა სამკუთხედით ამ სეგმენტის გარეშე. მინიმალური სეგმენტის წრფივი ზომების სამჯერ გაზრდით, კოხის მრუდის სიგრძე იზრდება log (4) / log (3) ~ 1, 26. ანუ კოხის მრუდის განზომილება არის წილადი!

მეცნიერება და ხელოვნება

1982 წელს გამოქვეყნდა მანდელბროტის წიგნი „ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია“, რომელშიც ავტორმა შეაგროვა და სისტემატიზირდა თითქმის ყველა იმ დროისთვის არსებული ინფორმაცია ფრაქტალების შესახებ და წარმოადგინა მარტივად და ხელმისაწვდომად. მანდელბროტმა თავის პრეზენტაციაში მთავარი აქცენტი გააკეთა არა რთულ ფორმულებსა და მათემატიკურ კონსტრუქციებზე, არამედ მკითხველთა გეომეტრიულ ინტუიციაზე. კომპიუტერით შექმნილი ილუსტრაციებისა და ისტორიული ზღაპრების წყალობით, რომლითაც ავტორი ოსტატურად აზავებდა მონოგრაფიის სამეცნიერო კომპონენტს, წიგნი ბესტსელერად იქცა, ხოლო ფრაქტალები ფართო საზოგადოებისთვის ცნობილი გახდა.

მათი წარმატება არამათემატიკოსებს შორის დიდწილად განპირობებულია იმით, რომ ძალიან მარტივი კონსტრუქციებისა და ფორმულების დახმარებით, რომელთა გაგებაც საშუალო სკოლის მოსწავლეს შეუძლია, საოცარი სირთულის და სილამაზის გამოსახულებები მიიღება. როდესაც პერსონალური კომპიუტერები საკმარისად მძლავრი გახდა, ხელოვნების მთელი ტენდენციაც კი გამოჩნდა - ფრაქტალის ფერწერა და ამის გაკეთება თითქმის ნებისმიერ კომპიუტერის მფლობელს შეეძლო. ახლა ინტერნეტში შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ ამ თემისადმი მიძღვნილი მრავალი საიტი.

Ომი და მშვიდობა

როგორც ზემოთ აღინიშნა, ერთ-ერთი ბუნებრივი ობიექტი ფრაქტალური თვისებებით არის სანაპირო ზოლი. მას უკავშირდება ერთი საინტერესო ამბავი, უფრო სწორად, მისი სიგრძის გაზომვის მცდელობა, რაც მანდელბროტის სამეცნიერო სტატიას დაედო საფუძვლად და ასევე აღწერილია მის წიგნში „ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია“.

ეს არის ექსპერიმენტი, რომელიც მოაწყო ლუის რიჩარდსონმა, ძალიან ნიჭიერმა და ექსცენტრიულმა მათემატიკოსმა, ფიზიკოსმა და მეტეოროლოგმა. მისი კვლევის ერთ-ერთი მიმართულება იყო ორ ქვეყანას შორის შეიარაღებული კონფლიქტის მიზეზებისა და ალბათობის მათემატიკური აღწერის მცდელობა. პარამეტრებს შორის, რომელიც მან გაითვალისწინა, იყო ორი მეომარი ქვეყნის საერთო საზღვრის სიგრძე.როდესაც მან შეაგროვა მონაცემები რიცხვითი ექსპერიმენტებისთვის, მან აღმოაჩინა, რომ სხვადასხვა წყაროებში მონაცემები ესპანეთსა და პორტუგალიის საერთო საზღვარზე ძალიან განსხვავებულია.

ამან აიძულა მას აღმოეჩინა შემდეგი: ქვეყნის საზღვრების სიგრძე დამოკიდებულია მმართველზე, რომლითაც გავზომავთ მათ. რაც უფრო მცირეა მასშტაბი, მით უფრო გრძელია საზღვარი. ეს გამოწვეულია იმით, რომ უფრო მაღალი გადიდებით შესაძლებელი ხდება უფრო და უფრო მეტი სანაპირო მოსახვევების გათვალისწინება, რომლებიც ადრე იგნორირებული იყო გაზომვების უხეშობის გამო. და თუ მასშტაბის ყოველი მატებასთან ერთად გაიხსნება ხაზების ადრე გაუთვალისწინებელი მოხვევები, მაშინ გამოდის, რომ საზღვრების სიგრძე უსასრულოა! მართალია, სინამდვილეში ეს არ ხდება - ჩვენი გაზომვების სიზუსტეს აქვს სასრული ზღვარი. ამ პარადოქსს რიჩარდსონის ეფექტს უწოდებენ.

კონსტრუქციული (გეომეტრიული) ფრაქტალები

ზოგად შემთხვევაში კონსტრუქციული ფრაქტალის აგების ალგორითმი შემდეგია. უპირველეს ყოვლისა, გვჭირდება ორი შესაფერისი გეომეტრიული ფორმა, დავარქვათ მათ ბაზა და ფრაგმენტი. პირველ ეტაპზე გამოსახულია მომავალი ფრაქტალის საფუძველი. შემდეგ მისი ზოგიერთი ნაწილი იცვლება შესაფერისი მასშტაბით აღებული ფრაგმენტით - ეს არის მშენებლობის პირველი გამეორება. შემდეგ მიღებული ფიგურა ისევ ცვლის ზოგიერთ ნაწილს ფრაგმენტის მსგავს ფიგურებად და ა.შ.. თუ ამ პროცესს განუსაზღვრელი ვადით გავაგრძელებთ, ლიმიტში მივიღებთ ფრაქტალს.

განვიხილოთ ეს პროცესი კოხის მრუდის მაგალითის გამოყენებით. როგორც კოხის მრუდის საფუძველი, შეგიძლიათ აიღოთ ნებისმიერი მრუდი ("კოხის ფიფქისთვის" ეს არის სამკუთხედი). მაგრამ ჩვენ შემოვიფარგლებით უმარტივესი შემთხვევით - სეგმენტით. ფრაგმენტი არის გატეხილი ხაზი, რომელიც ნაჩვენებია სურათზე ზედა. ალგორითმის პირველი გამეორების შემდეგ, ამ შემთხვევაში, საწყისი სეგმენტი დაემთხვევა ფრაგმენტს, შემდეგ მისი თითოეული შემადგენელი სეგმენტი შეიცვლება გატეხილი ხაზით, ფრაგმენტის მსგავსი და ა.შ. ფიგურაში ნაჩვენებია პირველი ოთხი ნაბიჯი. ეს პროცესი.

მათემატიკის ენაზე: დინამიური (ალგებრული) ფრაქტალები

ამ ტიპის ფრაქტალები წარმოიქმნება არაწრფივი დინამიკური სისტემების შესწავლისას (აქედან სახელწოდებაც). ასეთი სისტემის ქცევა შეიძლება აღწერილი იყოს რთული არაწრფივი ფუნქციით (პოლინომი) f (z). აიღეთ საწყისი წერტილი z0 კომპლექსურ სიბრტყეზე (იხილეთ გვერდითი ზოლი). ახლა განვიხილოთ რიცხვების ასეთი უსასრულო თანმიმდევრობა კომპლექსურ სიბრტყეზე, რომელთაგან თითოეული მიღებულია წინადან: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn).

z0 საწყისი წერტილიდან გამომდინარე, ასეთი მიმდევრობა შეიძლება განსხვავებულად იქცეს: მიდრეკილება უსასრულობისკენ, როგორც n -> ∞; მიახლოება რაღაც ბოლო წერტილში; ციკლურად მიიღოს მთელი რიგი ფიქსირებული მნიშვნელობები; შესაძლებელია უფრო რთული ვარიანტებიც.

რთული რიცხვები

რთული რიცხვი არის რიცხვი, რომელიც შედგება ორი ნაწილისაგან - რეალური და წარმოსახვითი, ანუ ფორმალური ჯამი x + iy (აქ x და y არის რეალური რიცხვები). მე ვარ ე.წ. წარმოსახვითი ერთეული, ანუ რიცხვი, რომელიც აკმაყოფილებს i ^ 2 = -1 განტოლებას. ძირითადი მათემატიკური მოქმედებები განისაზღვრება რთული რიცხვებით - შეკრება, გამრავლება, გაყოფა, გამოკლება (მხოლოდ შედარების ოპერაცია არ არის განსაზღვრული). რთული რიცხვების საჩვენებლად ხშირად გამოიყენება გეომეტრიული გამოსახულება - სიბრტყეზე (მას უწოდებენ კომპლექსს), რეალური ნაწილი იდება აბსცისაზე, ხოლო წარმოსახვითი ნაწილი ორდინატზე, ხოლო კომპლექსური რიცხვი შეესაბამება დეკარტის წერტილს. კოორდინატები x და y.

ამრიგად, რთული სიბრტყის ნებისმიერ z წერტილს აქვს ქცევის საკუთარი ხასიათი f (z) ფუნქციის გამეორებისას და მთელი სიბრტყე იყოფა ნაწილებად. ამ შემთხვევაში, ამ ნაწილების საზღვრებზე მდებარე წერტილებს აქვთ შემდეგი თვისება: თვითნებურად მცირე გადაადგილებისთვის, მათი ქცევის ბუნება მკვეთრად იცვლება (ასეთ წერტილებს უწოდებენ ბიფურკაციის წერტილებს). ამრიგად, ირკვევა, რომ ქცევის ერთი კონკრეტული ტიპის მქონე წერტილების სიმრავლეს, ისევე როგორც ბიფურკაციის წერტილების სიმრავლეს, ხშირად აქვთ ფრაქტალური თვისებები. ეს არის ჯულიას სიმრავლეები f (z) ფუნქციისთვის.

დრაკონების ოჯახი

ბაზისა და ფრაგმენტის შეცვლით, შეგიძლიათ მიიღოთ კონსტრუქციული ფრაქტალების საოცარი მრავალფეროვნება.

უფრო მეტიც, მსგავსი ოპერაციები შეიძლება შესრულდეს სამგანზომილებიან სივრცეში. მოცულობითი ფრაქტალების მაგალითებია მენგერის ღრუბელი, სიერპინსკის პირამიდა და სხვა.

დრაკონების ოჯახს ასევე მოიხსენიებენ, როგორც კონსტრუქციულ ფრაქტალებს. ზოგჯერ მათ აღმომჩენთა სახელს უწოდებენ "მაგისტრალ-ჰარტერის დრაკონებს" (მათი სახით ისინი ჩინურ დრაკონებს ჰგვანან). ამ მრუდის დასახვის რამდენიმე გზა არსებობს. მათგან ყველაზე მარტივი და ინტუიციური ასეთია: თქვენ უნდა აიღოთ საკმარისად გრძელი ქაღალდის ზოლი (რაც უფრო თხელია ქაღალდი, მით უკეთესი) და გადაკეცოთ იგი შუაზე. შემდეგ ისევ ორჯერ მოხარეთ იმავე მიმართულებით, როგორც პირველად.

რამდენიმე გამეორების შემდეგ (ჩვეულებრივ, ხუთი ან ექვსი დაკეცვის შემდეგ, ზოლი ზედმეტად სქელი ხდება შემდგომი მოღუნვისთვის), საჭიროა ზოლი უკან გაშალოთ და შეეცადოთ ჩამოაყალიბოთ 90˚ კუთხეები ნაკეცებთან. შემდეგ დრაკონის მრუდი აღმოჩნდება პროფილში. რა თქმა უნდა, ეს იქნება მხოლოდ მიახლოება, ისევე როგორც ფრაქტალური ობიექტების გამოსახვის ყველა ჩვენი მცდელობა. კომპიუტერი საშუალებას გაძლევთ წარმოაჩინოთ კიდევ ბევრი ნაბიჯი ამ პროცესში და შედეგი არის ძალიან ლამაზი ფიგურა.

მანდელბროტის ნაკრები აგებულია ოდნავ განსხვავებული გზით. განვიხილოთ ფუნქცია fc (z) = z ^ 2 + c, სადაც c არის რთული რიცხვი. მოდით ავაშენოთ ამ ფუნქციის თანმიმდევრობა z0 = 0-ით, c პარამეტრიდან გამომდინარე, ის შეიძლება განსხვავდებოდეს უსასრულობამდე ან დარჩეს შეზღუდული. უფრო მეტიც, c-ის ყველა მნიშვნელობა, რომლითაც ეს თანმიმდევრობა შემოიფარგლება, ქმნის მანდელბროტის სიმრავლეს. იგი დეტალურად შეისწავლეს თავად მანდელბროტმა და სხვა მათემატიკოსებმა, რომლებმაც აღმოაჩინეს ამ ნაკრების მრავალი საინტერესო თვისება.

ჩანს, რომ ჯულია და მანდელბროტის კომპლექტების განმარტებები ერთმანეთის მსგავსია. სინამდვილეში, ეს ორი ნაკრები მჭიდრო კავშირშია. კერძოდ, მანდელბროტის სიმრავლე არის c კომპლექსური პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც დაკავშირებულია ჯულიას სიმრავლე fc (z) (სიმრავლეს უწოდებენ დაკავშირებულს, თუ ის არ შეიძლება დაიყოს ორ განცალკევებულ ნაწილად, გარკვეული დამატებითი პირობებით).

ფრაქტალები და სიცოცხლე

დღეს ფრაქტალების თეორია ფართოდ გამოიყენება ადამიანის საქმიანობის სხვადასხვა სფეროში. კვლევისთვის წმინდა მეცნიერული ობიექტისა და უკვე ნახსენები ფრაქტალის ფერწერის გარდა, ფრაქტალები გამოიყენება ინფორმაციის თეორიაში გრაფიკული მონაცემების შეკუმშვისთვის (აქ ძირითადად გამოიყენება ფრაქტალების თვითმსგავსების თვისება - ბოლოს და ბოლოს, მცირე ფრაგმენტის დასამახსოვრებლად. ნახატი და გარდაქმნები, რომლითაც შეგიძლიათ მიიღოთ დანარჩენი ნაწილები, გაცილებით ნაკლები მეხსიერებაა საჭირო, ვიდრე მთელი ფაილის შესანახად).

ფრაქტალის განმსაზღვრელ ფორმულებში შემთხვევითი აურზაურების დამატებით, შეიძლება მივიღოთ სტოქასტური ფრაქტალები, რომლებიც ძალიან დამაჯერებლად გადმოსცემს ზოგიერთ რეალურ ობიექტს - რელიეფის ელემენტებს, წყლის ობიექტების ზედაპირს, ზოგიერთ მცენარეს, რომელიც წარმატებით გამოიყენება ფიზიკაში, გეოგრაფიასა და კომპიუტერულ გრაფიკაში უფრო დიდის მისაღწევად. სიმულირებული ობიექტების მსგავსება რეალურთან. ელექტრონიკაში იწარმოება ანტენები, რომლებსაც აქვთ ფრაქტალური ფორმა. მცირე ადგილს იკავებენ, ისინი უზრუნველყოფენ საკმაოდ მაღალი ხარისხის სიგნალის მიღებას.

ეკონომისტები იყენებენ ფრაქტალებს ვალუტის კურსის მრუდების აღსაწერად (მანდელბროტის მიერ აღმოჩენილი თვისება). ამით დასრულდა ეს მცირე ექსკურსია ფრაქტალების საოცრად ლამაზ და მრავალფეროვან სამყაროში.