ჰენრი სეგერმანი: მატერიალური ჰარმონია მათემატიკაში

2024 ავტორი: Seth Attwood | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2023-12-16 16:09

ლეგენდის თანახმად, პითაგორა იყო პირველი, ვინც აღმოაჩინა, რომ ორი თანაბრად გაჭიმული სიმი გამოსცემს სასიამოვნო ხმას, თუ მათი სიგრძე დაკავშირებულია მცირე მთელ რიცხვებად. მას შემდეგ ადამიანებს ხიბლავს იდუმალი კავშირი სილამაზესა და მათემატიკას შორის, ფორმების სრულიად მატერიალური ჰარმონიით, ვიბრაციებით, სიმეტრიით - და რიცხვებისა და ურთიერთობების სრულყოფილი აბსტრაქცია.

ეს კავშირი არის ეფემერული, მაგრამ ხელშესახები; ტყუილად არ არის, რომ მხატვრები მრავალი წლის განმავლობაში იყენებენ გეომეტრიის კანონებს და შთაგონებულია მათემატიკური კანონებით. ჰენრი სეგერმანს გაუჭირდა იდეების ამ წყაროს მიტოვება: ბოლოს და ბოლოს, ის მოწოდებით და პროფესიით მათემატიკოსია.

კლეინის ბოთლი „მობიუსის ორი ზოლის კიდეების გონებრივად დაწებებით“, ამბობს ჰენრი სეგერმანი, „შეგიძლიათ მიიღოთ კლეინის ბოთლი, რომელსაც ასევე აქვს ერთი ზედაპირი. აქ ჩვენ ვხედავთ Klein ბოთლს, რომელიც დამზადებულია Mobius-ის ზოლებიდან მრგვალი კიდით.

უფრო სწორად, როგორ შეიძლება გამოიყურებოდეს ის სამგანზომილებიან სივრცეში. მას შემდეგ, რაც ორიგინალური "მრგვალი" Mobius ზოლები მიდის უსასრულობამდე, მაშინ ასეთი კლეინის ბოთლი გაგრძელდება უსასრულობამდე ორჯერ და გადაკვეთს თავს, რაც ჩანს ქანდაკებაში.” ამ სკულპტურის გაფართოებული ასლი ამშვენებს მელბურნის უნივერსიტეტის მათემატიკისა და სტატისტიკის დეპარტამენტს.

ფრაქტალები

„მე დავიბადე მეცნიერთა ოჯახში და ვფიქრობ, რომ ჩემი ინტერესი ყველაფრის მიმართ, რაც მოწინავე სივრცით აზროვნებას მოითხოვს, დაკავშირებულია ამას“, - ამბობს ჰენრი. დღეს ის უკვე დაამთავრა ოქსფორდის სამაგისტრო და დოქტორანტურა სტენფორდის უნივერსიტეტებში და იკავებს ასოცირებული პროფესორის თანამდებობას ოკლაჰომას უნივერსიტეტში.

მაგრამ წარმატებული სამეცნიერო კარიერა მისი მრავალმხრივი პიროვნების მხოლოდ ერთი მხარეა: 12 წელზე მეტი ხნის წინ მათემატიკოსმა დაიწყო ხელოვნების ღონისძიებების ორგანიზება… Second Life-ის ვირტუალურ სამყაროში.

ეს სამგანზომილებიანი სიმულატორი სოციალური ქსელის ელემენტებით მაშინ ძალიან პოპულარული იყო, რაც მომხმარებლებს საშუალებას აძლევდა არამარტო დაუკავშირდნენ ერთმანეთს, არამედ აღჭურვათ თავიანთი ვირტუალური „ავატრები“და ადგილები გართობის, სამუშაოსთვის და ა.შ.

სახელი: ჰენრი სეგერმანი

დაიბადა 1979 წელს

განათლება: სტენფორდის უნივერსიტეტი

ქალაქი: Stillwater, აშშ

დევიზი: "მიიღეთ მხოლოდ ერთი იდეა, მაგრამ აჩვენეთ იგი რაც შეიძლება ნათლად."

სეგერმანი მოვიდა აქ, შეიარაღებული ფორმულებითა და რიცხვებით და მოაწყო თავისი ვირტუალური სამყარო მათემატიკური გზით, აავსო იგი უპრეცედენტო ფრაქტალის ფიგურებით, სპირალებით და თუნდაც ტესერაქტებით, ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბებით. „შედეგი არის ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბის პროექცია Second Life-ის სამგანზომილებიან სამყაროში - რომელიც თავისთავად არის სამგანზომილებიანი ვირტუალური სამყაროს პროექცია ორგანზომილებიან ბრტყელ ეკრანზე“, აღნიშნავს მხატვარი.

ჰილბერტის მრუდი: უწყვეტი ხაზი ავსებს კუბის სივრცეს, არასოდეს წყვეტს ან კვეთს თავის თავს.

ჰილბერტის მრუდები არის ფრაქტალური სტრუქტურები და თუ გაადიდებთ, ხედავთ, რომ ამ მრუდის ნაწილები მიჰყვება მთლიანის ფორმას. „ათასჯერ მინახავს ისინი ილუსტრაციებსა და კომპიუტერულ მოდელებში, მაგრამ როდესაც პირველად ავიღე ასეთი 3D სკულპტურა ხელში, მაშინვე შევამჩნიე, რომ ის ასევე ზამბარიანი იყო“, - ამბობს სეგერმანი. „მათემატიკური ცნებების ფიზიკური განსახიერება ყოველთვის რაღაცით არის გასაკვირი“.

თუმცა მატერიალურ ქანდაკებებთან მუშაობა ბევრად უფრო მოსწონდა. "ჩვენს ირგვლივ მუდმივად ტრიალებს უზარმაზარი ინფორმაცია", - ამბობს სეგერმანი. - საბედნიეროდ, რეალურ სამყაროს აქვს ძალიან დიდი გამტარობა, რომელიც ჯერ არ არის ხელმისაწვდომი ინტერნეტში.

მიეცით ადამიანს დასრულებული ნივთი, განუყოფელი ფორმა - და ის მაშინვე აღიქვამს მას მთელი სირთულით, დატვირთვის მოლოდინის გარეშე.”ასე რომ, 2009 წლიდან სეგერმანმა შექმნა ასზე ცოტა მეტი სკულპტურა და თითოეული მათგანი არის აბსტრაქტული მათემატიკური ცნებებისა და კანონების ვიზუალური და, რამდენადაც ეს შესაძლებელია, ზუსტი ფიზიკური განსახიერება.

პოლიჰედრა

სეგერმანის მხატვრული ექსპერიმენტების ევოლუცია 3D ბეჭდვით უცნაურად იმეორებს მათემატიკური იდეების ევოლუციას. მის პირველ ექსპერიმენტებს შორის იყო კლასიკური პლატონური მყარი, ხუთი სიმეტრიული ფიგურისგან შემდგარი ნაკრები, დაკეცილი რეგულარულ სამკუთხედებში, ხუთკუთხედებსა და კვადრატებში. მათ მოჰყვა ნახევრადრეგულარული მრავალწახნაგები - 13 არქიმედეს მყარი, რომელთა სახეები წარმოიქმნება არათანაბარი რეგულარული მრავალკუთხედებით.

Stanford Rabbit 3D მოდელი შექმნილია 1994 წელს. თითქმის 70000 სამკუთხედისგან შედგება, ის ემსახურება როგორც პროგრამული ალგორითმების შესრულების მარტივ და პოპულარულ ტესტს. მაგალითად, კურდღელზე შეგიძლიათ შეამოწმოთ მონაცემთა შეკუმშვის ეფექტურობა ან ზედაპირის გასწორება კომპიუტერული გრაფიკისთვის.

ამიტომ, სპეციალისტებისთვის, ეს ფორმა იგივეა, რაც ფრაზა "შეჭამეთ კიდევ რამდენიმე რბილი ფრანგული რულონები" მათთვის, ვისაც უყვარს კომპიუტერის შრიფტებით თამაში. იგივე მოდელია Stanford Bunny სკულპტურა, რომლის ზედაპირი მოპირკეთებულია სიტყვა bunny ასოებით.

უკვე ეს მარტივი ფორმები, რომლებიც გადავიდნენ ორგანზომილებიანი ილუსტრაციებიდან და წარმოსახვის იდეალური სამყაროდან სამგანზომილებიან რეალობაში, შინაგან აღტაცებას იწვევს მათი ლაკონური და სრულყოფილი სილამაზის გამო. „მათემატიკურ სილამაზესა და ხელოვნების ვიზუალური თუ ხმის ნაწარმოებების სილამაზეს შორის ურთიერთობა ძალიან მყიფე მეჩვენება.

ყოველივე ამის შემდეგ, ბევრმა ადამიანმა კარგად იცის ამ სილამაზის ერთი ფორმა და სრულიად არ ესმის მეორე. მათემატიკური იდეები შეიძლება ითარგმნოს ხილულ ან ვოკალურ ფორმებში, მაგრამ არა ყველა და არც ისე მარტივად, როგორც ეს შეიძლება ჩანდეს,”- დასძენს სეგერმანი.

მალე, უფრო და უფრო რთული ფორმები მოჰყვა კლასიკურ ფიგურებს, მათ შორის, რაც არქიმედეს ან პითაგორას ძლივს მოიფიქრეს - რეგულარული პოლიედრები, რომლებიც ავსებენ ლობაჩევსკის ჰიპერბოლურ სივრცეს ინტერვალის გარეშე.

ასეთი ფიგურები წარმოუდგენელი სახელებით, როგორიცაა "მე-6 რიგის ოთხკუთხა თაფლი" ან "ექვსკუთხა მოზაიკის თაფლი" არ შეიძლება წარმოიდგინოთ ხელთ არსებული ვიზუალური სურათის გარეშე. ან - სეგერმანის ერთ-ერთი ქანდაკება, რომელიც მათ ჩვენს ჩვეულ სამგანზომილებიან ევკლიდეს სივრცეში წარმოადგენს.

პლატონური მყარი: ტეტრაედონი, რვაედრონი და იკოსაედონი დაკეცილი რეგულარულ სამკუთხედებად, ასევე კუბი და იკოსაედონი, რომელიც შედგება ხუთკუთხედებზე დაფუძნებული კვადრატებისგან.

თავად პლატონმა მათ ოთხ ელემენტთან დააკავშირა: „გლუვი“რვაკუთხა ნაწილაკები, მისი აზრით, დაკეცილი ჰაერი, „თხევადი“იკოსაედრონები – წყალი, „მკვრივი“კუბურები – მიწა და ბასრი და „ეკლიანი“ტრეტრაედრები – ცეცხლი. მეხუთე ელემენტი, დოდეკაედონი, ფილოსოფოსმა იდეების სამყაროს ნაწილაკად მიიჩნია.

მხატვრის ნამუშევარი იწყება 3D მოდელით, რომელსაც ის აშენებს პროფესიონალურ Rhinoceros პაკეტში. ზოგადად, ასე მთავრდება: თავად სკულპტურების წარმოება, მოდელის დაბეჭდვა 3D პრინტერზე, ჰენრი უბრალოდ ბრძანებს Shapeways-ის მეშვეობით, 3D ბეჭდვის მოყვარულთა დიდი ონლაინ საზოგადოების მეშვეობით, და იღებს მზა ობიექტს, რომელიც დამზადებულია პლასტმასის ან ფოლადის ბრინჯაოზე დაფუძნებული ლითონის მატრიცის კომპოზიტებისაგან. "ეს ძალიან ადვილია," ამბობს ის.”თქვენ უბრალოდ ატვირთავთ მოდელს საიტზე, დააჭირეთ ღილაკს კალათაში დამატება, განათავსეთ შეკვეთა და რამდენიმე კვირაში ის მოგცემთ ფოსტით.”

ფიგურა რვა კომპლემენტი წარმოიდგინეთ, რომ კვანძს ამაგრებთ შიგნიდან და შემდეგ ამოიღებთ მას; დარჩენილ ღრუს ეწოდება კვანძის კომპლემენტი. ეს მოდელი გვიჩვენებს ერთ-ერთი უმარტივესი კვანძის დამატებას, ფიგურა რვა.

სილამაზე

საბოლოო ჯამში, სეგერმანის მათემატიკური სკულპტურების ევოლუცია ტოპოლოგიის რთულ და მომხიბვლელ სფეროში მიგვიყვანს. მათემატიკის ეს ფილიალი სწავლობს ბრტყელი ზედაპირისა და სხვადასხვა განზომილების სივრცის თვისებებსა და დეფორმაციებს და მათთვის მნიშვნელოვანია უფრო ფართო მახასიათებლები, ვიდრე კლასიკური გეომეტრიისთვის.

აქ კუბი ადვილად გადაიქცევა ბურთად, როგორც პლასტილინი, ხოლო თასი სახელურით შეიძლება გადააგოროთ დონატში, მასში რაიმე მნიშვნელოვანის გატეხვის გარეშე - სეგერმანის ელეგანტურ ტოპოლოგიურ ხუმრობაში განსახიერებული ცნობილი მაგალითი.

ტესერაქტი არის ოთხგანზომილებიანი კუბი: ისევე როგორც კვადრატის მიღება შესაძლებელია მასზე პერპენდიკულარული სეგმენტის სიგრძის ტოლ მანძილზე გადაადგილებით, კუბის მიღება შესაძლებელია კვადრატის სამ განზომილებაში კოპირებით და კუბის გადაადგილებით. მეოთხეში „დავხატავთ“ტესერაქტს, ანუ ჰიპერკუბს. მას ექნება 16 წვერო და 24 სახე, რომელთა პროგნოზები ჩვენს სამგანზომილებიან სივრცეში ოდნავ ჰგავს ჩვეულებრივ სამგანზომილებიან კუბს.

”მათემატიკაში ესთეტიკური გრძნობა ძალიან მნიშვნელოვანია, მათემატიკოსებს უყვართ” ლამაზი”თეორემები”, - ამტკიცებს მხატვარი. - ძნელია იმის დადგენა, თუ კონკრეტულად რაშია ეს სილამაზე, როგორც სხვა შემთხვევებში. მაგრამ მე ვიტყოდი, რომ თეორემის სილამაზე მის სიმარტივეშია, რაც საშუალებას გაძლევთ გაიგოთ რაღაც, დაინახოთ რამდენიმე მარტივი კავშირი, რომელიც ადრე წარმოუდგენლად რთული ჩანდა.

მათემატიკური სილამაზის გულში შეიძლება იყოს სუფთა, ეფექტური მინიმალიზმი - და გაკვირვებული ძახილი "აჰა!". მათემატიკის ღრმა სილამაზე შეიძლება იყოს ისეთივე საშინელი, როგორც თოვლის დედოფლის სასახლის ყინულოვანი მარადისობა. თუმცა, მთელი ეს ცივი ჰარმონია უცვლელად ასახავს სამყაროს შინაგან მოწესრიგებას და კანონზომიერებას, რომელშიც ჩვენ ვცხოვრობთ. მათემატიკა მხოლოდ ენაა, რომელიც უდავოდ ერგება ამ ელეგანტურ და რთულ სამყაროს.

პარადოქსულია, რომ ის შეიცავს ფიზიკურ შესაბამისობას და აპლიკაციებს თითქმის ნებისმიერი განცხადებისთვის მათემატიკური ფორმულებისა და ურთიერთობების ენაზე. ყველაზე აბსტრაქტული და „ხელოვნური“კონსტრუქციებიც კი ადრე თუ გვიან იპოვის აპლიკაციას რეალურ სამყაროში.

ტოპოლოგიური ხუმრობა: გარკვეული თვალსაზრისით, წრის და დონატის ზედაპირები "იგივეა", უფრო სწორად, ისინი ჰომეომორფულია, რადგან მათ შეუძლიათ ერთმანეთში გადაქცევა შესვენების და წებოების გარეშე. თანდათანობითი დეფორმაცია.

ევკლიდეს გეომეტრია გახდა კლასიკური სტაციონარული სამყაროს ასახვა, დიფერენციალური გაანგარიშება გამოადგა ნიუტონის ფიზიკას. წარმოუდგენელი რიმანის მეტრიკა, როგორც აღმოჩნდა, აუცილებელია აინშტაინის არასტაბილური სამყაროს აღსაწერად და მრავალგანზომილებიანმა ჰიპერბოლურმა სივრცეებმა იპოვეს გამოყენება სიმების თეორიაში.

აბსტრაქტული გამოთვლებისა და რიცხვების ამ უცნაურ შესაბამისობაში ჩვენი რეალობის საფუძვლებთან, ალბათ, იმალება სილამაზის საიდუმლო, რომელსაც ჩვენ აუცილებლად ვგრძნობთ მათემატიკოსთა ყველა ცივი გამოთვლების მიღმა.